“Jangan mengerjakan sesuatu dengan setengah hati, karena hasil yang akan kamu dapatkan pun akan menjadi setengahnya.”

Digital clock - DWR

Sabtu, 09 September 2017

METODE NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

METODE NUMERIK
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)



                                                     2X1 + X2 + X3 – X4        = 6
                                                     2X1 – 3X2 + 2X3 – X4  = 17
                                                     X1 + X2 – 3X3 – 2X4    = -7
                                                     X1 – 2X2 + 2X3 – 3X4  = 15

                                                                    OLEH   :
                            NAMA                                          :  ALVIO YUNITA PUTRI 
                            NIM                                              :  03041181520031
                            DOSEN PENGAMPU                : WIRAWAN ADIPRADANA
                            ANGKATAN                                :  2015
                            TANGGAL KUMPUL              :  30 MARET 2017



JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
KAMPUS INDRALAYA
2016/2017



BAB 1
 PENDAHULUAN
Pada Sistem Persamaan Linier (SPL) untuk menyelesaikan sebuah perhitungan di Matematika, ada beberapa jenis cara atau metode-metode yang dapat dilakukan, yaitu dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss, Metode Gauss Jordan, Metode Invers Matriks, Metode Dekomposisi LU, Metode LU Gauss, Metode Reduksi Crout, Metode Iterasi Jacobi, dan Metode Iterasi Gauss Seidel. Pada paper ini, terdapat empat persamaan linier yang akan dikerjakan dengan menggunakan 3 Metode yaitu  Metode Gauss Jordan, Metode Reduksi Crout, dan Metode Iterasi Gauss Seidel. Metode Gauss Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga dimana matriks A diubah menjadi matriks identitas I, sehingga tidak diperlukan lagi substitusi mundur untuk mendapatkan penyelesaiannya. Metode Reduksi Crout Merupakan metode lain untuk melakukan dekomposisi LU. Metode Reduksi Crout menggunakan bantuan Matriks L dan Matriks U. Metode Iterasi Gauss Seidel berbeda dari Metode Gauss Jordan dan  Metode Reduksi Crout karena pada Metode Iterasi Gauss Seidel tidak perlu membutuhkan bantuan matriks, Sehingga suatu persamaan SPLnya sendiri yang akan diolah dan didapatkan suatu nilai-nilainya dengan tebakan awal terlebih dahulu. Pada Metode Iterasi Gauss Seidel, nilai x baru yang didapat langsung digunakan pada persamaan lain untuk mendapatkan nilai xi+1 lainnya. Oleh karena itu, Metode Iterasi Gauss Seidel lebih cepat konvergen dibandingkan Metode Iterasi Jacobi



BAB 2
DASAR TEORI
Tiga metode yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan linear (SPL) kali ini adalah Metode Gauss Jordan, Metode Reduksi Crout, dan Metode Iterasi Gauss Seidel
1. Metode Gauss Jordan, Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut:

 

2. Metode Reduksi Crout, Langkah-langkah yang harus dilakukan pada Metode Reduksi Crout sebagai berikut:
-     [A] = [L].[U]


Sehingga, [A]  = [L.U]

 

3. Metode Iterasi Gauss Seidel, Langkah-langkah yang harus dilakukan pada Metode Iterasi Gauss Seidel sebagai berikut:
- Mengolah Sistem Persamaan Linier (SPL) sehingga menghasilkan suatu persamaan
baru yaitu persamaan A, B, C, dan D.
-          Membuat nilai tebakan awal pada nilai-nilai Persamaan Liniernya (SPL) yaitu A, B. C, dan Dnya bernilai bebas. Misalnya : (A, B, C, D) = (2, 2, 2, 2)
-          Masukan nilai dari : (A, B, C, D) = (2, 2, 2, 2) kedalam empat persamaan Linier yang baru diatas.





BAB 3
ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Persamaan linier yang telah saya buat adalah :
2X1 + X2 + X3 – X4       = 6
2X1 – 3X2 + 2X3 – X4  = 17
X1 + X2 – 3X3 – 2X4    = -7
X1 – 2X2 + 2X3 – 3X4  = 15
Pada ke-empat persamaan ini akan dicari berapa nilai dari X1, X2, X3, dan X4.
Terdapat 3 Metode yang akan saya gunakan yaitu metode Gauss Jordan, Reduksi Crout, dan Gauss Seidel.

1.       Metode Gauss Jordan
Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

Langkah-langkah yang harus dilakukan pada Metode Gauss Jordan adalah :
-          Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memasukkan ke-empat persamaan diatas ke dalam Matriks, dimana Matriksnya ber-orde 4x4. 

  
 
 
 
 
 
 

1          2.      Metode Reduksi Crout
Langkah-langkah yang harus dilakukan pada Metode Reduksi Crout adalah :
-          Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memasukkan ke-empat persamaan diatas ke dalam Matriks, dimana Matriksnya ber-orde 4x4. 











 


















-        Sehingga didapatlah nilai X1 = 2, X2 = -2, X3 = 3, dan X4 = -1.
Dengan menggunakan Metode Reduksi Crout kita langsung mendapatkan nilai X1, X2, X3 dan X4 nya dengan memasukkan rumus yang didapat dari persamaan Matriks A = [L].[U]