“Jangan mengerjakan sesuatu dengan setengah hati, karena hasil yang akan kamu dapatkan pun akan menjadi setengahnya.”

Digital clock - DWR

Sabtu, 26 Agustus 2017




METODE NUMERIK
SISTEM PERSAMAAN NON LINIER




F(X) = 2X3 - 2X2 - 4X - 5
Selang : X = 1 sampai X = 3

                            NAMA                                          :  ALVIO YUNITA PUTRI 
                            NIM                                              :  03041181520031
                            ANGKATAN                                :  2015
                            TANGGAL                                  : 23 FEBRUARI 2017



JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
KAMPUS INDRALAYA
2016/2017




BAB 1
 PENDAHULUAN
Pada sistem persamaan non linier untuk menyelesaikan sebuah perhitungan di Matematika, ada enam jenis cara atau metode-metode yang dapat dilakukan, yaitu dengan menggunakan Metode Grafik, Metode Tabulasi, Metode Biseksi / bagi dua, Metode Regula Falsi, Metode Newton Raphson, dan Metode Sectan. Pada paper ini, terdapat suatu persamaan non linier yang akan dikerjakan dengan menggunakan Metode Biseksi / bagi dua, Metode Regula Falsi, dan Metode Newton Raphson. Metode biseksi merupakan salah satu metode tertutup untuk mentukan solusi akar dari persamaan non linear atau disebut juga metode pembagian Interval atau metode yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi. Metode regula falsi atau metode posisi palsu merupakan salah satu solusi pencarian akar dalam penyelesaian persamaan-persamaan non linier melaui proses iterasi (pengulangan). Sedangkan, Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih mudah dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya.










BAB 2
DASAR TEORI
Tiga metode yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan non linear kali ini adalah Metode Biseksi / bagi dua, Metode Regula Falsi, dan Metode Newton Raphson.
 



BAB 3
ANALISIS DAN PEMBAHASAN

          Soalnya adalah F(X) = 2X3 - 2X2 - 4X 5, dengan selang : X = 1 sampai X = 3, Toleransi error (ε) = 0,01 atau minimal 10 iterasi.
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah dengan membuat grafik pada fungsi persamaan diatas.
Untuk membuat grafiknya, masukan nilai X ke persamaan F(X) dengan X nilainya acak dan bebas.
X
F(X) = 2X3-2X2-4X-5
-3
-65
-2
-21
-1
-5
0
-5
1
-9
2
-5
3
19

Setelah di dapatkan nilai dari fungsi F(X), maka dapat dibuat grafiknya :
Pada suatu persamaan F(X) ini yang akan dicari adalah nilai akarnya(Xc) pada lingkaran yang berwarna merah diantara X = 1 sampai X = 3.
1.      Metode Biseksi / bagi dua
Langkah-langkah yang harus dilakukan pada Metode Biseksi / bagi dua adalah :
-          Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua selang yang akan digunakan untuk mendapatkan potongan tengahnya,  pada soal telah diberi pendekatan yaitu selangnya berada pada Xa = 1 sampai Xb = 3.
-          Sehingga untuk mendapatkan nilai tengah pada suatu persamaan F(X), maka gunakan rumus seperti pada dasar teori.
            
-          Setelah didapatkan nilai Xa, Xb, dan Xc kemudian masukan ke dalam
Persamaan F(X).
F(X) = 2X3 - 2X2 - 4X 5
-          F(Xa) = 2(Xa)3 - 2(Xa)2 4(Xa) 5
F(1) = 2(1)3 - 2(1)2 4(1) 5
F(1) = 2 – 2 – 4 -5 = -9
-          F(Xb) = 2(Xb)3 - 2(Xb)2 4(Xb) 5
F(3) = 2(3)3 - 2(3)2 4(3) 5
F(3) = 2(27) – 2(9) – 12 - 5
F(3) = 54 – 18 – 12 – 5 = 19
-          F(Xc) = 2(Xc)3 - 2(Xc)2 4(Xc) 5
F(2) = 2(2)3 - 2(2)2 4(2) 5
F(2) = 2(8) – 2(4) – 8 - 5
F(2) = 16 – 8 - 8 -5 = -5

-          Sehingga didapatkan fungsi dari F(Xa), F(Xb), dan F(Xc) dan kemudian dimasukkan ke dalam Tabel 1.1 Metode Biseksi

-          Untuk iterasi kedua dan selanjutnya maka bandingkan nilai F(Xc) dengan nilai F(Xa) dan F(Xb), apabila nilai F(Xc) bertanda positif maka carilah nilai F(Xa) atau F(Xb) yang bertanda negatif, begitu juga sebaliknya.

-          Setelah dibandingkan, Masukan lagi nilai Xc dengan nilai Xa atau Xb, kemudian masukkan ke dalam rumus Xc lagi dan lakukan berulang-ulang sampai nilai F(Xc) mendekati angka nol (0) atau memenuhi angka toleransi errornya (ε) yaitu 0,01.
Bila disajikan dalam tabel, maka hasil perhitungan dengan Metode Biseksi / bagi dua dengan beberapa kali iterasi adalah sebagai berikut :
i
Xa
Xb
Xc
F(Xa)
F(Xb)
F(Xc)
Error(%)
0
1
3
2
-9
19
-5
-
1
2
3
2.5
-5
19
3.75
20
2
2
2.5
2.25
-5
3.75
-1.34375
11.11111
3
2.25
2.5
2.375
-1.3438
3.75
1.01172
5.263158
4
2.25
2.375
2.313
-1.3438
1.0117
-0.2124
2.702703
5
2.31
2.375
2.344
-0.2124
1.0117
0.38788
1.333333
6
2.31
2.344
2.328
-0.2124
0.3879
0.08482
0.671141
7
2.31
2.328
2.32
-0.2124
0.0848
-0.06452
0.3367
8
2.33
2.32
2.324
0.08482
-0.065
0.00997
0.168067
9
2.32
2.324
2.322
-0.0645
0.01
-0.02732
0.084104
10
2.32
2.324
2.323
-0.0273
0.01
-0.00869
0.042034
Tabel 1.1 Metode Biseksi / bagi dua
Berdasarkan pada tabel diatas (Tabel 1.1), telah dilakukan iterasi sebanyak 10 kali.
Pada iterasi ke-8 saat Xa = 2,33; Xb = 2,32 dan Xc = 2,324 nilai F(Xc) telah memenuhi toleransi errornya (ε) yaitu 0,00997 karena 0,00997 < 0,01. Jadi, untuk metode biseksi ini pada iterasi ke-8, iterasi dapat dihentikan (stop). Tetapi, apabila nilai F(Xc) masih kurang cukup lakukan iterasi lagi sampai nilainya sangat mendekati nol (0).
Sehingga, akar dari persamaan F(X) = 2X3 - 2X2 - 4X 5 dengan menggunakan Metode Biseksi / bagi dua adalah Xc = 2,324 dengan F(Xc) = 0,00997.
Kelebihan menggunakan Metode Biseksi / bagi dua adalah untuk mendapatkan akarnya sangatlah mudah hanya menggunakan rumus Xc yaitu nilai Xa ditambah Xb kemudian dibagi 2 dan kemungkinan kesalahan dalam perhitungan relatif lebih kecil karena rumus yang digunakan tidak susah.
Kelemahan menggunakan Metode Biseksi / bagi dua adalah untuk mendapatkan akar-akar yang sesuai dengan toleransi errornya (ε) membutuhkan iterasi yang banyak dan sangat lambat.


2.      Metode Regula Falsi
Langkah-langkah yang harus dilakukan pada Metode Regula Falsi adalah :
-          Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua selang yang akan digunakan untuk mendapatkan potongan tengahnya,  pada soal telah diberi pendekatan yaitu selangnya berada pada Xa = 1 sampai Xb = 3.
-          Kemudian masukkan nilai Xa =1 dan Xb = 3 ke persamaan F(X) Setelah didapatkan nilai Xa, Xb, dan Xc kemudian masukan ke dalam Persamaan F(X).
F(X) = 2X3 - 2X2 - 4X 5
F(Xa) = 2(Xa)3 - 2(Xa)2 4(Xa) 5
F(1) = 2(1)3 - 2(1)2 4(1) 5
F(1) = 2 – 2 – 4 -5 = -9
F(Xb) = 2(Xb)3 - 2(Xb)2 4(Xb) 5
F(3) = 2(3)3 - 2(3)2 4(3) 5
F(3) = 2(27) – 2(9) – 12 - 5
F(3) = 54 – 18 – 12 – 5 = 19

-          Setelah itu, Masukkan nilai Xa, Xb, F(Xa) dan F(Xb) ke dalam rumus Xc yaitu :
            

-          Nilai Xc telah didapat yaitu Xc = 1,643 maka masukan nilai Xc= 1,643  ke dalam Persamaan F(X).
F(X) = 2X3 - 2X2 - 4X 5
F(Xc) = 2(Xc)3 - 2(Xc)2 4(Xc) 5
F(1,643) = 2(1,643)3 - 2(1,643)2 4(1,643) 5
F(1,643) = 2(4,435) – 2(2,699) – 4(1,643) -5
F(1,643) = 8,870 – 5,398 – 6,572 – 5 =  -8,101
-          Sehingga didapatkan fungsi dari F(Xa), F(Xb), dan F(Xc) dan kemudian dimasukkan ke dalam Tabel 1.2 Metode Regula Falsi.
-          Untuk iterasi kedua dan selanjutnya maka bandingkan nilai F(Xc) dengan nilai F(Xa) dan F(Xb), apabila nilai F(Xc) bertanda positif maka carilah nilai F(Xa) atau F(Xb) yang bertanda negatif, begitu juga sebaliknya.
-          Setelah dibandingkan, Masukan lagi nilai Xc dengan nilai Xa atau Xb, kemudian masukkan ke dalam rumus Xc lagi dan lakukan berulang-ulang sampai nilai F(Xc) mendekati angka nol (0) atau memenuhi angka toleransi errornya (ε) yaitu 0,01.
Bila disajikan dalam tabel, maka hasil perhitungan dengan Metode Regula Falsi dengan beberapa kali iterasi adalah sebagai berikut :
i
Xa
Xb
Xc
f(Xa)
f(Xb)
f(Xc)
Error(%)
0
1
3
1.642857
-9
19
-8.10131
-
1
1.64
3
2.048544
-8.101
19
-4.39368
19.803656
2
2.05
3
2.227241
-4.394
19
-1.73325
8.0232738
3
2.23
3
2.291842
-1.733
19
-0.59646
2.8187246
4
2.29
3
2.313397
-0.596
19
-0.19551
0.9317219
5
2.31
3
2.32039
-0.196
19
-0.06305
0.3013745
6
2.32
3
2.322638
-0.063
19
-0.02023
0.0967843
7
2.32
3
2.323358
-0.02
19
-0.00648
0.0310094
Tabel 1.2 Metode Regula Falsi.

Berdasarkan pada tabel diatas (Tabel 1.2), telah dilakukan iterasi sebanyak 7 kali.
Pada iterasi ke-7 saat Xa = 2,32; Xb = 3 dan Xc = 2,323358 nilai F(Xc) telah memenuhi toleransi errornya (ε) yaitu 0,00648 karena 0,00648 < 0,01. Jadi, untuk metode regula falsi ini pada iterasi ke-7 iterasi dapat dihentikan (stop).
Sehingga, akar dari persamaan F(X) = 2X3 - 2X2 - 4X 5 dengan menggunakan metode regula falsi adalah Xc = 2,323358.
Kelebihan menggunakan Regula Falsi adalah untuk mendapatkan akarnya lebih cepat dari pada metode biseksi / bagi dua, sehingga untuk mendapatkan akar-akar yang sesuai dengan toleransi errornya (ε) tidak membutuhkan iterasi yang banyak dan berulang-ulang.
Kelemahan menggunakan regula adalah dengan menggunakan rumus Xc sangat rumit sehingga peluang kesalahan dalam perhitungan akan semakin banyak.

3.      Metode Newton Raphson
Langkah-langkah yang harus dilakukan pada Metode Regula Falsi adalah :
-          Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan nilai titik taksiran Xa yang akan digunakan sebagai taksiran awal. Berdasarkan grafik pada dasar teori, nilai titik taksiran (Xa) yang akan digunakan misalnya Xa = 2.
-          Kemudian, Carilah turunan fungsi dari F(X).
F(X) = 2X3 - 2X2 - 4X 5
F’(X) = 6X2 4X – 4
-          Setelah diturunkan, masukkan nilai Xa = 2 ke Fungsi F(X) dan ke Turunan Fungsi F’(X).
-          F(Xa) = 2(Xa)3 - 2(Xa)2 4(Xa) 5
F(2) = 2(2)3 - 2(2)2 4(2) 5
F(2) = 2(8) – 2(4) – 8 - 5
F(2) = 16 – 8 - 8 -5 = -5
-          F’(X) = 6X2 4X – 4
F’(2) = 6(2)2 4(2) – 4
F’(2) = 6(4) 4(2) – 4
F’(2) = 24 – 8 – 4 = 12

-          Sehingga didapatkan nilai Xa, F(X) , dan F’(X). Kemudian, hitunglah titik taksiran yang baru (Xa+1) dengan rumus :
                 
-          Setelah didapatkan nilai titik taksiran yang baru (Xa+1), Masukanlah kedalam Tabel 1.3 Metode Newton Raphson.
-          Pada Metode Newton Raphson tidak perlu lagi membandingkan fungsi F(X) dengan fungsi lainnya. Langsung dapat terlihat ketika nilai F(Xa) sudah mendekati angka nol (0) atau memenuhi angka toleransi errornya (ε) yaitu 0,01.

Bila disajikan dalam tabel, maka hasil perhitungan dengan Metode Newton Raphson dengan beberapa kali iterasi adalah sebagai berikut :
i
Xa
Xa+1
f(Xa)
f'(Xa)
Error(%)
0
2
2.417
-5
12
-
1
2.417
2.329
1.8808
21.375
3.640967041
2
2.329
2.324
0.0954
19.222
0.213166205
3
2.324
2.324
0.0003
19.103
0.000664018
Tabel 1.3 Metode Newton Raphson.
Berdasarkan pada tabel diatas (Tabel 1.3), hanya dilakukan iterasi sebanyak 3 kali.
Pada iterasi ke-3 saat Xa = 2,324; nilai F(Xa) telah memenuhi toleransi errornya (ε) yaitu 0,0003 karena 0,0003 < 0,01. Jadi, untuk Metode Newton Raphson ini pada iterasi ke-3 iterasi dapat dihentikan (stop).
Sehingga, akar dari persamaan F(X) = 2X3 - 2X2 - 4X 5 dengan menggunakan Metode Newton Raphson adalah Xa = 2,324 dengan F(Xa) = 0,003.
Kelebihan menggunakan Metode Newton Raphson adalah untuk mendapatkan akarnya sangat cepat dari pada Metode Biseksi / bagi dua maupun Metode Regula Falsi, sehingga untuk mendapatkan akar-akar yang sesuai dengan toleransi errornya (ε) tidak membutuhkan iterasi yang banyak dan berulang-ulang, selain itu rumus yang digunakan pada Metode Newton Raphson tidak rumit, hanya menggunakan turunan dari suatu fungsi persamaan F(X), Nilai pada fungsi persamaan F(X) juga mendapatkan nilai yang mendekati sempurna karena hampir mendekati angka nol (0).
Kelemahan menggunakan Metode Newton Raphson adalah apabila suatu fungsi persamaan F(X) sulit untuk diturunkan maka akan sulit masuk ke dalam perhitungan rumusnya.
Jadi, tidak semua fungsi F(X) dapat menggunakan Metode Newton Raphson.







BAB 4
KESIMPULAN

Dari ketiga metode diatas, Dapat diambil kesimpulan bahwa Metode yang paling mudah digunakan dan kesalahan perhitungannya relatif kecil adalah Metode Biseksi / bagi dua. Tetapi, Metode yang paling cepat untuk mendapatkan akar-akar pada suatu fungsi persamaan F(X) adalah Metode Newton Raphson. Untuk mendapatkan nilai F(X) yang hampir mendekati angka nol (0) maka gunakan Metode Newton Raphson.
Dari ketiga metode ini, Saya paling menyukai Metode Biseksi / bagi dua, walaupun harus melakukan iterasi yang berulang-ulang untuk mendapatkan nilai F(X)nya, tetapi kesalahan yang akan didapat relatif kecil dan juga Metode Biseksi / bagi dua merupakan metode yang paling simple dan kita tidak akan pernah lupa rumus serta langkah-langkah yang akan dilakukan.



DAFTAR PUSTAKA

Adipradana, Wirawan. 2017. Sistem Persamaan Non Linear. [powerpoint slide].
Indarti, Dina. 2017. Persamaan Non Linier. https://www.dina_indarti.staff.gunadarma.ac.id/     
         Downloads/files/ 28386/ Persamaan+Non-Linier.pdf. (Diakses pada tanggal 21 Februari 2017).
Said, Fairuzel. 2010. Persamaan Non Linier. https://fairuzelsaid.wordpress.com/2010/11/03/  
       sistem-persamaan-non-linier-menggunakan-metode-biseksi/. (Diakses pada tanggal 22   
        Februari 2017).




Tidak ada komentar:

Posting Komentar